怎么才算“学会”数学，说实话，从小学阶段开始对数学发生兴趣，到进入北大数学系，开始“专业”学“数学”，毕业之前在金融领域从事的工作又与数学高度相关，但从开始教小朋友加减乘除后，我开始重新思考，数学怎么才算“学会”了？

▲哭的稀里哗啦还没太明白什么是“数”的小姑娘

网上流传着不少类似的陪孩子写作业，特别是写数学作业的段子和小视频。大人们往往会经历从“循循善诱”到 “急火攻心”的过程，为什么这么简单的问题，孩子就是不会？

孩子小时候学不会大人觉得显而易见的问题，其实是很正常的。刚开始学习数学，往往会遇到一些基本的关键概念，而越是基本的概念，越抽象，越难理解。对于完全没有经验的孩子来说，真的很难啊！比如，什么是“数”，什么是“十进制”，什么是加法，什么又是减法？小小数字的发明，其在人类文明的作用不亚于火的熟练使用。

人们最早开始用手指头计数，当手指头不够使用的时候，人们开始绳结计数，石头计数，刻痕计数；从第一个绳结打上后，人类文明便走上了一条快捷通道，我们建立起了羊和绳结的一一对应关系，这一一对应的思想是非常本质的，甚至是现代数学的基础。举个例子：整数比实数少就是用到一一对应的思想方法。从一到二，这又是一次飞跃，一生二，二生三，三生万物。一和二的关系是次序的关系，表达的是数量的联系，是函数f(n) = f(n-1) +1的递归关系，从此之后才能说大小，才能说加减，才能说乘除。

后来，人们又发现一个一个的打结对于很多很多的数量是很难记清楚的，才发明了进制系统，这又是一次飞跃。古埃及的象形数字和中国的甲骨文数字用的是十进制，古巴比伦的楔形数字用的是六十进制，玛雅文明用的是二十进制。现代我们用的阿拉伯十进制计数法已成为全世界通用的语言符号。有了计数系统，在这个结构之上，我们才得以发展更高效的数数方法，加减乘除四则运算。

大数学家 Felix Klein 说过：

“数学最困难的地方在于：不管任何人，想要进入它，就必须在自己心里，依靠自己的力量，一步一步地把它的发展再现一次。”

所以，哪怕只是掌握一个数学概念，如果不能把它赖以创立的所有概念及它们的相互联系都加以消化，是不可能的。我们需要带着孩子在脑海中走完一遍数学发展的历史，让其在自我思考、提取抽象的过程当中更加顺利。这其中的不容易，作为大人，我们可能已经忘记了，但是这就是孩子们在这个年龄普遍需要经历的。

▲图片来源于网络

我教过一个高年级孩子，他的计算速度总是很慢，计算8+7，他会画上7个圈圈，然后从8开始数：9、10、11、12、13、14、15，答案是15。他理解了数字的次序，理解了加法的意义，可是问题在于他没有理解10机制，没有理解8+7=8+2+5=10+5=15这个凑十的过程。

这个时候，老师可以有两种选择，直接让小朋友把所有个位数的加法答案都背下来帮助他“过关”，这个对老师来说是比较省事的；一个是通过游戏和具象化的方式，设置小朋友感兴趣的情境，在游戏中反复操练，真正理解10的美妙之处。

孩子都喜欢游戏，针对这个孩子遇到的问题，我设计了一个游戏：将军出塞。外敌入侵我们要征兵克敌，筹码就是我们的军队。一些筹码代表1，1代表士兵；一些筹码代表10，10代表将军，游戏还需要1个骰子。每一轮游戏，都需要投骰子来决定征兵的数量，每10个小兵可以换一个将军，凑够5个将军我们就可以出塞打仗了。

▲图片来源于网络

现在，他手上有8个小兵，又投出了一个6，他会再拿6个小兵出来，然后激动的说“我可以换一个将军了！将军出马天下无敌！”，迅速地数出十个小兵换出一个将军。随着玩的次数的增加，遇到同样的赶不上情况，他开始直接把手上的8个兵还回去直接拿出1个将军和4个小兵。这个时候，我知道，他已经在心里完成了这个凑10的过程！从第一次课，计算20组个位数加法需要两分半的时间，到第三次课计算20组个位数加法只要一分半，对他来说是很大的进步啊，而且我知道，他是真的“学会”了。

现在，游戏可以进阶了。我们国家强胜了，但敌人也更厉害了。我们需要10个将军才可以出兵打仗，但是每次征兵的数量由两个骰子的总数决定。某些时候能扔出12，他会很激动，“直接获取一位将军”。这个升级版其实是在锻炼他三个能力，一位数加法的口算（两个骰子的总数），数位的概念或者说数字的结构（23是2个将军和3个小兵，对应到数字上的解释就是23是两个10和三个1组成的），两位数加法的初步认识（将军数相加，小兵数相加，小兵能凑到10就进位）。

有了数字结构的理解，加法的计算就变得很自然了。他知道将军和将军相加，小兵和小兵相加。最后我们还是要回归到加法竖式的计算中来，数位对齐，个位相加，进位标记，再算十位，有了前面的铺垫，竖式的计算就容易多了。在掌握知识和技能之外，额外的收获是，小朋友对数学学习产生了自发的兴趣，在算得更快中发现了乐趣，很多速算的题目其实就是需要小朋友对数的构成有深刻的理解才能达到。

▲图片来源于网络

这个故事的进阶版本可以一直讲下去，下一步我们还可以很自然地引入减法和减法退位，为将来的乘除法学习打下了坚实基础。课后，他可能会忘了加法竖式怎么列，但这个游戏却已经深深地留在了他脑子里，他可以很快调出这个将军出塞的游戏，我是怎么加将军的，我是怎么小兵换将军的，他仍然可以通过自己的理解计算出正确答案。忘了套路不怕，随时可以调用具体的经历现场推导，这才是更好的学会。

现代数学鼻祖希尔伯特这样说：

“数学研究的对象是关系而不是对象，定理是对关系的精确描述。抽象结构既可以表达简单也可以表达复杂的现象，结构，概念。学习是从具体到抽象理论为目标，研究是从理论到具体为目标。”

简而言之：数学是对现实世界事物与事物之间关系的高度抽象概括，是极度的信息压缩。心中没有具体的案例，是无法调动相应的数学知识来解决新问题的，没有经历过从具体问题到抽象的过程，也无法达到对某个数学知识点的深度理解的，更无从谈起自如运用了。

小朋友抽象能力还没有那么强大，我们需要充分调动他们的手，眼，耳，最重要的是，需要调动他们的学习兴趣，使得他们能够在具体的数学游戏中找到那些抽象的数学概念，并建立起数学想象和图景。

▲在张老师数学思维课上，专心琢磨的孩子

上面的例子可以说是数学想象的一个方面，下面再说一个建立数学图景的例子。

小学高年级的数学学习中，一个学习点是乘法交换律和分配律。这个我们都很熟悉，乘法交换率即a*b=b*a，分配律是(a+b)*c = a*c+b*c。课堂上，我们可以从计算上总结出这样的规律，例如4*5 =20 = 5*4，（3+4）*7 = 7*7 = 49 = 3*7 + 4*7。这种推导方式，对小朋友来说，理解和记住都是一个挺费脑子的事情。此外，更进一步说，这样的总结方式也不够“聪明”，很多很多的数学定理是不需要计算精确结果也能推出等式关系的。有些情况下，我们甚至都不能算出答案，但是仍然能够知道两个量的关系。

那么，我们可以怎么做呢？

对于交换律，我们建立下面的图景，a*b是一个底为a，高为b的长方形面积，现在我们把这个长方形旋转90度，它的底是b，高为a，面积是b*a，所以a*b一定是等于b*a的，多么的显然啊！

对于乘法分配律，我们可以引导小朋友建立下面的图景。大长方形的面积是(a+b) *c，两个小长方形的面积是a*c和b*c，所以(a+b) *c = a*c + b*c。有这样的直观图景，就算我们忘记了运算定律的名字，他们所描述的规律一生也不太可能忘记了。

小朋友在数学学习中还会遇到一个问题，低年级学倒还可以，到了高年级却慢慢跟不上了。有两个原因，一个是因为数学这座大厦是有着严密的基础，很容易出现理解不到位，一步跟不上，步步跟不上的情况。没有对十进制计数法的理解，就很难理解加减法的运算；没有组合、拆分的精确理解，就很难有乘除法的理解，进而影响到小数、分数的理解；不能理解数量之间的关系，就很难建立起方程的概念；没有方程的概念就很难建立起函数的概念；没有函数的概念，就很难建立起解析几何的概念，到这里几何和代数终于统一了；没有代数和几何的连接，就又很难建立起极限的概念，没有极限的概念，现代数学也就无从谈起了。

▲图片来源于网络

对于小学阶段的知识来说，其实靠背口诀，学套路，其实真的是可以“过关”的。但是，非常可惜的是，在这样的学习中，小朋友们真正错过的不但是真的“学会”数学的时机，也是发展和培养思维能力，学习能力的机会。怎么学习数学本身也是需要“学习“的。我们就是要不断地辅助小朋友独立完成思考、归纳、抽象的过程，才能真正培养起数学思维。

所以，在好的数学学习中，老师应该做向导而不是做保姆，不应该也不能剥夺小朋友对新事物的探索和亲身体验。在课堂上：

1.给出典型的问题，这个问题是种子问题，是产生某个知识点的原始素材。将来可以随时调用，这个问题要具体，容易理解又能引发学习兴趣；

2.循循善诱，一步一步辅佐小朋友完成思考，适时归纳总结获取并理解某个知识点；

3.给出新的问题，让小朋友用获取的知识解决新的问题，得到成就感和思考的快乐。

这种学习方式，用在所有的数学知识上，有点奢侈也没必要，比较好的做法是：找到最最关键的几个概念，不断地加强，对于一些重要的数学思想，种下种子。我们会根据孩子们爱玩的天性，设计一系列有趣的游戏，在游戏中不知不觉地经历思考、归纳、总结的乐趣。化数学概念或者技术为“游戏”，让孩子在动手玩的过程中，在一个个挑战性的任务里，去理解和内化这些抽象的概念，归纳总结出解决这些问题的一般方法。当孩子经历了这一切，面对新的问题时，就会自动与这些游戏发生联结，调动对应的知识来解决新问题。做到了这一步，我们认为，这个数学，孩子学“会”了。

这个学期，在一土学校的课堂上，我们和三年级的师生们共同开展了一次卡牌游戏课，针对小朋友刚刚学会的两位数乘一位数的口算和估算设计的游戏课（请参考《【快戳】一土大型“赌博现场”实录》），小朋友玩得不亦乐乎。在游戏当中，小朋友不仅体验到了把知识应用在新场景下的成就感，更难能可贵的是，在游戏过程当中，他们自觉地引入了有序思考的思维方式。让我们再次感叹，给小朋友探索的空间，他们真的有无限潜能！

以上是我们在课堂上做了什么。其实，在课堂上，不做什么，同样重要。

典型的套路式教法：你看到题目中的数字一定出现在等式的左边……这种讲法看似一下就掌握了秘诀，实质上是对小朋友天生就有的探索精神的扼杀，伤害孩子的探索欲，相当于剥夺了孩子一半的学习乐趣，大人们还有什么理由责怪孩子们不爱学习呢？

和对错的结果相比，我们更关心的是思考过程，鼓励小朋友积极思考，和同伴交流自己的思考过程；对于结果，要帮助小朋友正确认识对与错，“错”正是很好的学习机会。

学习的乐趣原应属于每一个孩子，但胜负心又是孩子们的天性，那么如何既顺应他们喜欢比赛的天性，又保护每一个孩子的学习积极性呢？我们采用了在竞争性游戏中，引入随机性的做法，避免出现强者恒强的情况。很多游戏中有扔骰子这个设计，可能也是为了让游戏更像游戏，而不是智力竞赛。在上面所说的卡牌游戏课当中，我们也充分考虑到了这一点，设计了随机性，在竞赛游戏中保护孩子们的自尊，而不至于因为输赢心失去了游戏的快乐和自信，失去了游戏学习的本意。

▲边动手尝试边学习，图片来源于晨犀APP

创造一个学生可以高效学习的课堂，作为老师，需要我们：

鼓励学习（Encouragement）

创造学生积极参与游戏和问题解决的学生主导的课堂。

个性化（Differentiation）

帮助学生创造适合各自水平的问题或者任务。

促进思考（Thinking）

促进学生思考，提出可以稍微思考就能解决的问题（productively stuck）。

正面积极的环境（Positive Environment）

创造师生之间，生生之间相互信任和支持的课堂，在这里可以犯错、可以问问题，并鼓励这些行为。

我们希望孩子们在游戏当中获得发现问题的能力；通过探索获取知识的能力；面对新问题，产生联想的能力；学习到如何学习，进而变成真正的思想者，创造者，问题解决者，从而终生受益。

作为一个从小喜欢数学，因数学而受益的人，我一直在享受数学给我带来的乐趣，也希望把这份快乐带给更多的孩子，体会到数学之美，思考之乐。在他们心里埋下思辨的种子，精心地呵护，静待花开。

数学营为半日营，我们同期将开设包括做饭课在内的半日拼营。想不想尝试一下上午脑力激荡游戏化学习，下午炒勺翻飞大饱口福的感觉啊？